CHINA TST 2008

Bài toán (China Team Selection Test 2008)

Cho tam giác  nhọn có  là tâm nội tiếp.  là hai trung điểm cung nhỏ  của đường tròn  ngoại tiếp tam giác  và  là trung điểm . Lấy  là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ  của . Gọi  theo thứ tự là tâm nội tiếp các tam giác .  là giao điểm thứ hai của  và . Chứng minh  thẳng hàng.

Lời giải :

Có thể thấy đây chính là một tính chất quen thuộc của đường tròn Mixtilinear và dễ nhìn ra được  chính là điểm tiếp xúc của  và đường tròn Mixtilinear góc  của tam giác . Ta sẽ chứng minh điều này.

Dễ dàng nhận ra được :

Cũng dễ dàng nhìn ra đuơc hai tam giác  đồng dạng. Kéo theo :

Đẳng thức này chứng tỏ  là tứ giác điều hoà.

Mặt khác nếu gọi  là tiếp điểm của  và đường tròn Mixtilinear góc  của tam giác  thì  ta được  là tứ giác điều hoà. Điều này chứng tỏ  trùng nhau.

Từ đó dễ dàng nhận thấy  đi qua trung điểm  của cung .

Bằng cộng góc đưa về các góc trong tam giác , ta có  song song . Tương tự  song song . Suy ra  là hình bình hành. Mà  là trung điểm của  nên  cũng là trung điểm của . Kéo theo  thẳng hàng.

Vậy ta có  thẳng hàng.

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------