- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
Phương pháp Vieta Jumping (Bước nhảy Viete)
Arithmetic Sequence
Bài toán : Xét phương trình .
a) Tìm tất cả các số nguyên dương sao cho phương trình trên có nghiệm nguyên dương .
b) Với các giá trị tìm được, hãy tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình.
Lời giải :
a) Cố định và xét tập :
Trong chọn ra cặp thỏa mãn nhỏ nhất, giả sử .
Xét phương trình :
Dễ thấy phương trình này có nghiệm , gọi nghiệm còn lại là . Theo định lí Viete :
Từ đây dễ thấy cũng nguyên dương, vì tính nhỏ nhất của nên .
Suy ra :
Vì nguyên dương nên . Như vậy :
Và dấu bằng chỉ xảy ra khi . Mâu thuẫn. Như vậy . Hơn nữa theo AM-GM ta dễ thấy .
Ta được . Thử lại với thì là một nghiệm của phương trình.
b) Ta tìm tất cả các nghiệm của phương trình :
Xét dãy số xác định như sau :
Ta chứng minh nếu là cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa khi và chỉ khi để .
Thực vậy, dễ kiểm tra được thỏa với mọi . Gọi là một cặp số nguyên dương bất kỳ thỏa . Nếu thì , tức tồn tại để . Do đó ta chỉ cần xét , giả sử luôn .
Khi đó ta chọn . Dễ thấy nguyên dương và cặp lúc này cũng thỏa .
Để ý ta có :
Suy ra .
Hoàn toàn tương tự ta chọn được cặp cũng thỏa nguyên dương và .
Cứ tiếp tục quá trình này, ta được :
Nhưng bị chặn dưới bởi nên phải tồn tại sao cho :
Từ đó :
…
.
Như vậy với cặp bất kỳ thì tồn tại để .
Từ đó tất cả các nghiệm của phương trình là với dãy xác định như trên.
Lưu ý : Kỹ thuật xét dãy như trên :
Xét dãy truy hồi tuyến tính cấp hai :
Để ý thì thấy :
Như vậy :
Do đó nếu gặp phương trình có dạng :
Thì ta sẽ xét dãy .
- Nhận đường liên kết
- Ứng dụng khác
Nhận xét
Đăng nhận xét