Bài Hình VMO 2015 Viện Toán Học

vào
Bài toán (Đề thi thử VMO 2015 Viện Toán Học)
Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Gọi I là trung điểm của BC và H là trực tâm tam giác ABC. Cho BH,CH cắt CA,AB tương ứng tại E,F. Tia IH cắt (O) tại T. Trên đường thẳng EF lấy điểm D sao cho HD song song BC.
a) Chứng minh DT tiếp xúc với (HEF).
b) Gọi M,N là giao theo thứ tự của EF với (IBT),(ICT) thoả M khác phía E đối với F và N khác phía F đối với E. Gọi P là giao của AH với (O). Chứng minh BN,CM,TP đồng quy.
Lời giải :
ngày 2
a) Theo định lí Brocard thì TI vuông góc JA, điều này cho ta T thuộc (AFHE).
Gọi J là giao BC với EF. Vì JE.JF=JB.JC hay J có cùng phương tích với (HEF) và (O). Suy ra J thuộc trục đẳng phương của chúng, tức J thuộc TA.
Ta thấy :
\angle FDH=\angle FCB=\angle HEF
Điều này chứng tỏ là DH là tiếp tuyến của (HEF).
Mặt khác, DH song song BC và I là trung điểm của BC nên suy ra H(BC,DI)=-1.
Hay là H(EF,HT)=-1. Suy ra tứ giác TFHE điều hoà, lại có EF cắt tiếp tuyến tại H của (HEF) tại D nên DT là tiếp tuyến của (HEF).
b) Ta có T(BE,JH)=-1 và TI vuông góc JA nên theo định lí chùm điều hoà ta có TI là phân giác góc BTE hay \angle BTE=2 \angle ITE =2 \angle HTE =2 \angle HAC.
Hơn nữa \angle HAC=\angle EBI và \angle EIC=2\angle EBI vì I là trung điểm cạnh huyền BC của tam giác vuông BEC.
Kéo theo \angle BTE=\angle EIC. Điều này cho ta TBIE nội tiếp hay E \in (TBI).
Từ đó :
\angle MBT=\angle \angle TEM=\angle TAB=\angle TCB
Suy ra MB là tiếp tuyến tại B của (O). Tương tự NC là tiếp tuyến tại C của (O).
Hơn nữa có A(TP,BC)=A(JH,BC)=-1 nên tứ giác TBPC điều hoà. Suy ra TP và hai tiếp tuyến tại B,C của (O) đồng quy. Tức là TP,BM,NC đồng quy.
Hoàn tất bài toán.

Nhận xét

Đăng nhận xét