BỔ ĐỀ ERIQ VÀ ỨNG DỤNG (HUY CAO BLOG)

vào
Bổ đề ERIQ 
Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng (A,B,C),(A',B',C') sao cho \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}=k. Gọi X,Y,Z lần lượt là các điểm thuộc AA',BB',CC' sao cho \dfrac{AX}{A'X}=\dfrac{BY}{B'Y}=\dfrac{CZ}{C'Z}=h. Chứng minh rằng X,Y,Z thẳng hàng và \dfrac{XY}{XZ}=k
Chứng minh :
ERIQ
Dựng các hình bình hành AXNC và A'XN'C'. Kẻ các đường thẳng BM,B'M' lần lượt song song với AA' với M\in XN,\;M'\in XN'.
Xét tam giác BMY và B'M'Y có \widehat{MBY}=\widehat{M'B'Y} (so le trong, BM\parallel B'M' do cùng song song với AA')
, \dfrac{BM}{B'M'}=\dfrac{AX}{A'X}=\dfrac{BY}{B'Y}=h. Suy ra \Delta BMY\sim \Delta B'M'Y\Rightarrow \widehat{MYB}=\widehat{M'YB}\Rightarrow M,Y,M' thẳng hàng.
Tương tự ta có N,Z,N' thẳng hàng.
Theo định lí Thales, ta có :
\dfrac{XM}{XN}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{A'B'}{A'C'}=\dfrac{XM'}{XN'}\Rightarrow MXM'\parallel NZN'
Mặt khác lại có \dfrac{MY}{M'Y}=\dfrac{BY}{B'Y}=h=\dfrac{CZ}{C'Z}=\dfrac{NZ}{N'Z}
Như vậy X,Y,Z thẳng hàng. Từ đó cũng dễ dàng thấy được \dfrac{XY}{XZ}=k.
Bổ đề ERIQ được chứng minh.
* Trường hợp đặc biệt :
Cho tam giác ABC. B_1,C_1 lần lượt thuộc AB,AC sao cho B_1C_1\parallel BC. A_1,A_2 lần lượt thuộc B_1C_1,BC sao cho \dfrac{A_1B_1}{A_1C_1}=\dfrac{A_2B}{A_2C}. Khi đó A,A_1,A_2 thẳng hàng.

Nhận xét

Đăng nhận xét